Le ruban de Möbius, une bande de papier qui n'a qu'une face

Une minute, une bande de papier

Le plus beau, avec le ruban de Möbius, c'est qu'on peut le fabriquer avant même d'en lire l'histoire. Découpez une bande de papier, longue et étroite. Rapprochez les deux extrémités comme pour faire un anneau, mais avant de les coller, retournez l'une d'elles d'un demi-tour. Un morceau d'adhésif, et c'est fait.

Prenez maintenant un crayon et tracez une ligne au milieu de la bande, sans jamais lever la mine. Vous reviendrez à votre point de départ après avoir fait deux fois le tour, et la ligne couvrira les « deux côtés » de la bande. Il n'y en a en réalité qu'un seul. Suivez le bord du doigt : un seul bord, lui aussi, une seule boucle fermée.

Deux découvreurs, la même année

L'objet porte le nom d'August Ferdinand Möbius, astronome et mathématicien allemand, professeur à Leipzig. En 1858, en travaillant sur la géométrie des polyèdres, il tombe sur cette surface étrange. La même année, sans le savoir, un autre Allemand, Johann Benedict Listing, fait la même découverte à Göttingen.

Listing publie le premier, en 1861 ; Möbius ne décrit sa bande qu'en 1865. C'est pourtant son nom qui est resté. Listing a une consolation de taille : c'est lui qui, dès 1847, a forgé le mot « topologie ». Cette branche des mathématiques étudie les formes sans se soucier des distances : ce qui reste vrai quand on étire, tord ou plie un objet sans le déchirer.

Une face, un bord, et pas de dessous

Pour un topologue, ce qui compte n'est ni la longueur de la bande ni sa couleur, mais le nombre de faces et de bords. Un anneau ordinaire en a deux de chaque : un dedans, un dehors, un bord en haut, un bord en bas. Le ruban de Möbius n'en a qu'un de chaque. Une fourmi qui marcherait au milieu de la bande en ferait tout le tour, dessus et dessous, sans jamais franchir un bord. Le graveur néerlandais M. C. Escher a d'ailleurs dessiné cette promenade en 1963, avec une procession de fourmis rouges.

Les mathématiciens disent que la surface est non orientable : impossible d'y définir de façon cohérente un dessus et un dessous, ni même une gauche et une droite. Un petit bonhomme dessiné sur la bande, qu'on ferait glisser tout du long, reviendrait à son point de départ inversé, comme dans un miroir.

Collez deux rubans de Möbius bord à bord, et vous obtenez un objet plus déroutant encore, impossible à construire dans notre espace sans qu'il se traverse lui-même : la bouteille de Klein, décrite par Felix Klein en 1882.

L'expérience des ciseaux

Le ruban de Möbius réserve ses meilleures surprises à qui prend des ciseaux. Coupez un anneau ordinaire le long de sa ligne médiane : vous obtenez, sans surprise, deux anneaux. Faites la même chose avec un ruban de Möbius : vous obtenez une seule bande, deux fois plus longue, qui a cette fois deux faces, deux bords et deux tours complets de torsion.

Recommencez en coupant au tiers de la largeur plutôt qu'au milieu. Vous ferez deux fois le tour avant de revenir au point de départ, et vous obtiendrez deux anneaux enlacés : un ruban de Möbius plus étroit, de la même longueur que l'original, et une bande deux fois plus longue, prise dans le premier comme un maillon de chaîne.

Ces expériences se font en cinq minutes avec une feuille et un rouleau d'adhésif. Elles valent toutes les démonstrations : la topologie, c'est d'abord une affaire de mains.

Des courroies au logo du recyclage

Une surface sans envers a des avantages très concrets. Une courroie de convoyeur montée avec un demi-tour s'use sur toute sa surface au lieu d'une seule face : elle dure plus longtemps. Au XXe siècle, plusieurs brevets ont repris l'idée pour des courroies, des rubans encreurs et des boucles de bande magnétique.

Le ruban a aussi conquis l'imaginaire. En 1970, un étudiant américain, Gary Anderson, remporte un concours de dessin avec trois flèches repliées en boucle : le logo universel du recyclage est un ruban de Möbius. Artistes, architectes et sculpteurs y reviennent sans cesse, fascinés par cette forme qui semble se refermer sur elle-même sans jamais finir.

Du papier à l'engrenage

Faire un ruban de Möbius en papier est un jeu d'enfant. En faire un qui tourne sur lui-même est une autre histoire. Le demi-tour qui ferme la boucle impose une contrainte : chaque segment doit pivoter un peu par rapport à son voisin, et l'ensemble doit continuer à tourner sans se bloquer nulle part.

Sur notre maquette, cette torsion est répartie sur toute la longueur. Des couronnes dentées et des maillons articulés s'engrènent sur des axes montés sur roulements, et chaque articulation absorbe une petite part du demi-tour. Aucune ne force, et la boucle défile sans fin.

Sur votre bureau

Notre Nœud de Möbius Articulé tient dans la main : 14 × 14 × 6 cm, trente-six pièces, un montage classé débutant d'environ une heure. Pas de réglage délicat : vous assemblez la boucle, vous la lancez, elle tourne. C'est un premier kit idéal, et l'un des plus captivants à regarder.

Posez-le sur votre bureau et attendez la question de vos visiteurs : « Mais où est le dessous ? » Vous aurez la réponse, et une bande de papier pour la démontrer.